Množiny, výroky, typy matematických důkazů

• množina, operace s množinami
• intervaly, operace s intervaly
• jednoduché a složené výroky a jejich pravdivostní hodnoty
• negace jednoduchých a složených výroků
• typy důkazů – přímý, nepřímý, sporem, matematickou indukcí

🏗️ Ještě upravujeme...

Tato stránka je stále ve vývoji a může se brzy změnit.

Množina, operace s množinami

Množina je základní matematický objekt, který obsahuje nějaké prvky.

Operace s množinami

• Podmnožina $A⊑B$
• Průnik $A\cap B$
• Sjednocení $A\cup B$
• Rozdíl $A\setminus B$
• Doplněk $A_B^{\prime }$

Intervaly, operace s intervaly

Interval je podmnožina reálných čísel $\mathbb{R}$.

Zápis intervalů

• Otevřený interval $(a,b)=\{x\in \mathbb{R}:a<x<b\}$
• Uzavřený interval $[a,b]=\{x\in \mathbb{R}:a\le x\le b\}$
• Polouzavřený interval $(a,b]=\{x\in \mathbb{R}:a<x\le b\}$
• Polouzavřený interval $[a,b)=\{x\in \mathbb{R}:a\le x<b\}$

Pozor!

Nejčastěji se uzavřený interval zapisuje ostrou závorkou (⟨ a ⟩)
Hranaté závorky [ a ] se používají mezinárodně častěji.

Operace s intervaly jsou podobné operacím s množinami, ale je třeba brát v úvahu otevřenost nebo uzavřenost hranic intervalů.

Jednoduché a složené výroky a jejich pravdivostní hodnoty

Jednoduchý výrok je tvrzení, které může být pravdivé nebo nepravdivé. Výrok musí nést určitý význam a musí být jednoznačný, aby bylo možné určit jeho pravdivostní hodnotu. Složené výroky se tvoří pomocí logických operátorů.

Pravdivostní tabulka

A	B	$A\wedge B$	$A\vee B$	$A⟹B$	$A⟺B$
0	0	0	0	1	1
0	1	0	1	1	0
1	0	0	1	0	0
1	1	1	1	1	1

Kvantifikátory

• Existenciální $\mathrm{\exists }$ (existuje)
• Obecný $\mathrm{\forall }$ (pro všechna)

Negace jednoduchých a složených výroků

Typy důkazů – přímý, nepřímý, sporem, matematickou indukcí

Pravdivostní hodnoty výroků