Úprava algebraických výrazů

• definiční obor výrazu
• vzorce $(a\pm b{)}^2$, $(a\pm b{)}^3$ a $a^2-b^2$
• rozklad mnohočlenu pomocí vytýkání a pomocí vzorců
• společný násobek a dělitel výrazu
• výrazy s mocninami a odmocninami, pravidla pro počítání s mocninami a odmocninami

Definiční obor výrazu

Výrazy mají svá pravidla. Některé hodnoty proměnných jsou zakázané. Právě tyto pravidla určují definiční obor.

Definiční obor výrazu = vše, co můžeme dosazovat
Definičním oborem výrazu rozumíme množinu všech čísel, pro která dokážeme výraz spočítat. Například u zlomků nesmí být jmenovatel roven nule, protože dělení nulou není definováno. U odmocnin zase nesmí být pod odmocninou záporné číslo, pokud pracujeme v oboru reálných čísel.

Pravidla pro určení definičního oboru

1. Zlomky
   Jmenovatel zlomku nesmí být roven nule.
   Příklad: U výrazu $\frac{1}{x-2}$ platí podmínka $x-2\ne 0$, tedy $x\ne 2$.

2. Odmocniny
   Pod odmocninou nesmí být záporné číslo (v oboru reálných čísel).
   Příklad: U výrazu $\sqrt{x-3}$ platí podmínka $x-3\ge 0$, tedy $x\ge 3$.

3. Logaritmy
   Argument logaritmu musí být kladný.
   Příklad: U výrazu $\log (x+1)$ platí podmínka $x+1>0$, tedy $x>-1$.

4. Exponenciální výrazy
   Základ mocniny musí být kladný, pokud je proměnná v exponentu.
   Příklad: U výrazu $a^x$ platí podmínka $a>0$.

5. Goniometrické funkce:
   U některých funkcí je třeba zohlednit omezení na definiční obor.
   Příklad: U výrazu $\tan (x)$ platí podmínka $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, kde $k\in \mathbb{Z}$.

Při určování definičního oboru postupujeme takto:

1. Najdeme všechny podmínky, které musí být splněny.
2. Vyřešíme tyto podmínky a určíme množinu hodnot, které vyhovují.
3. Výsledkem je definiční obor výrazu.

Příklad 1.1.1

Určete definiční obor výrazu $\frac{\sqrt{x-1}}{x-2}$

Podmínky:

• $x-1\ge 0$ (odmocnina)
• $x-2\ne 0$ (zlomek)

Řešení:

• $x\ge 1$
• $x\ne 2$

Definiční obor je $⟨1,2)\cup (2,\mathrm{\infty })$.

Algebraické vzorce

Tyto vzorce jsou základními nástroji pro úpravu algebraických výrazů:

Rozklad kvadrátu součtu/diference

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$$$$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$$

Rozklad kubu součtu/diference

$$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$$$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$$

Rozdíl čtverců

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$

Tyto vzorce se používají při rozkladu mnohočlenů, zjednodušování výrazů a řešení rovnic.

Příklad 1.2.1

Rozložte výraz $x^2-9$

Použijeme vzorec rozdílu čtverců:
$x^2-9=$ $(x+3)(x-3)$

Rozklad mnohočlenu pomocí vytýkání a pomocí vzorců

Rozklad mnohočlenu je proces, při kterém hledáme jednodušší formy, které tvoří daný mnohočlen. Existují dva hlavní způsoby:

Vytýkání

Hledáme společný faktor všech členů mnohočlenu.

Příklad 1.3.1

Rozložte výraz $3x^2+6x$

Společný faktor je $3x$.
Rozklad: $3x(x+2)$.

Použití vzorců

Používáme známé algebraické vzorce.

Příklad 1.3.2

Rozložte výraz $x^2-4$

Použijeme vzorec rozdílu čtverců:
$x^2-4=$ $(x+2)(x-2)$.

Společný násobek a dělitel výrazu

Společný násobek a dělitel jsou důležité při práci s algebraickými výrazy:

Společný násobek

Nejmenší výraz, který je násobkem všech daných výrazů.

Příklad 1.4.1

Najděte společný násobek $x^2$ a $x^3$

Společný násobek je $x^3$

Společný dělitel

Největší výraz, který dělí všechny dané výrazy.

Příklad 1.4.2

Najděte společný dělitel $x^2$ a $x^3$

Společný násobek je $x^2$

Výrazy s mocninami a odmocninami, pravidla pro počítání s mocninami a odmocninami

Práce s mocninami a odmocninami vyžaduje znalost základních pravidel:

Pravidla pro mocniny

• $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
• $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$

Pravidla pro odmocniny

• $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$
• $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
• $\sqrt{a^2}=|a|$

Příklad 1.5.1

Zjednodušte výraz $\sqrt{50}$

Rozklad:
$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{2}=$ $5\sqrt{2}$