Lineární rovnice a nerovnice

• ekvivalentní úpravy rovnic a nerovnic
• důsledkové úpravy rovnic a nerovnic
• lineární rovnice s parametrem
• slovní úlohy

Ekvivalentní úpravy rovnic a nerovnic

Jedná se o takové úpravy, které zachovávají platnost rovnice nebo nerovnice.
To znamená, že pokud provedeme ekvivalentní úpravu, řešení rovnice nebo nerovnice se nezmění.

• Přičítání a odečítání reálného čísla,
• Přičítání a odečítání neznámé (nebo výrazu obsahujícího neznámou),
• Násobení reálným číslem kromě nuly,
• Násobení neznámou (nebo výrazem obsahujícím neznámou), pokud je různá od nuly (nebo výraz je různý od nuly),
• Dělení reálným číslem kromě nuly,
• Dělení neznámou (nebo výrazem obsahujícím neznámou), pokud je různá od nuly (nebo výraz je různý od nuly).

Důsledkové úpravy rovnic a nerovnic

Důsledkové úpravy jsou takové, které ZMĚNÍ PLATNOST rovnice nebo nerovnice.
Při použití důsledkové úpravy neztratíme žádné správné řešení, ale mohou se objevit klamná další řešení.
Pro takové výsledky je potom nuztná zkouška.

• Umocnění obou stran stejným mocnitelem

Lineární rovnice s parametrem

Rovnice s parametrem mají kromě neznámých ještě další proměnné, kterým říkáme parametry.
Je to zápis množin všech rovnic, které bychom získali dosazením všech hodnot, jichž mohou parametry nabývat.

Příklad 2.3.1

$\frac{2-a}{a}=\frac{2}{x-1}$

Podmínky:

• $a\ne 0$ (jmenovatel)
• $x-1\ne 0\Rightarrow x\ne 1$ (jmenovatel)

Řešení:

$\frac{2-a}{a}=\frac{2}{x-1}$ $/\cdot a(x-1)$
$(2-a)(x-1)=2a$
$2x-ax-2+a=2a$
$2x-ax=2a-a+2$
$x(2-a)=a+2$

V tomto případě je řešení rovnice závislé na parametru $a$.
Řešení se dále dělí na dva případy:

• $a=2$:
  $0x\ne 4\Rightarrow K=\mathrm{\varnothing }$
• $a\ne 2$:
  $x=\frac{a+2}{2-a}$

Výsledkem je tato tabulka:

a	K
$a=2$	$\mathrm{\varnothing }$
$a\ne 0\wedge a\ne 2$	$\left\{\frac{a+2}{2-a}\right\}$

Slovní úlohy

Slovní úlohy jsou matematické problémy, které vycházejí z reálných situací.
Jejich řešení zahrnuje převod textového zadání do matematického modelu, vyřešení rovnice nebo nerovnice a na závěr interpretaci výsledku v kontextu původního zadání.

Příklad 2.4.1

Trojúhelník má obvod 35 cm. Jedna jeho strana je čtyřikrát větší než druhá ao 1 cm větší než třetí. Určete velikosti stran trojúhelníku.

• $O=35cm$
• $a=4x$
• $b=x$
• $c=4x-1$

Řešení:

$4x+x+4x-1=35$
$9x=36$
$x=4$

Strany trojúhelníku jsou: $16cm$, $4cm$, $15cm$.