Hyperbola

• středová a obecná rovnice
• rovnice tečny k hyperbole z daného bodu
• asymptoty
• vzájemná poloha přímky a hyperboly

Středová a obecná rovnice

Středová rovnice hyperboly je:

• $\pm \frac{(x-m{)}^2}{a^2}\pm \frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$
• $S[m;n]$ je středem hyperboly
• Pokud je zlomek s $x$ kladný, tak je hlavní osa rovnoběžná s osou $x$, např:
  $\frac{(x-m{)}^2}{a^2}-\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$

Obecná rovnice hyperboly je:

• $a{x}^2+b{y}^2+cx+dy+e=0$,
  $a\ne b$, (jinak by to byla kružnice)
  $a\cdot b<0$ (jinak by to byla elipsa)

takhle může být hyperbola zadaná v příkladě. My se budeme snažit jí převést na tvar středový, protože z něho vyčteme další informace a je i přehlednější.

Rovnice tečny k hyperbole z daného bodu

Tečna ke kružnici z bodu $T[x_0,y_0]$ je:

• $\pm \frac{(x-m)(x_0-m)}{a^2}\pm \frac{(y-n)(y_0-n)}{b^2}=1$

Vzájemná poloha přímky a hyperboly

Přímka může být s kružnicí rovnoběžná, dotýkat se jí nebo ji protínat.
Poloha závisí na vzdálenosti středu kružnice od přímky ve vztahu k poloměru kružnice.

• $p\cap H=\mathrm{\varnothing }$
  Přímka $p$ leží vně hyperboly $H$ a nazýváme ji vnější přímka hyperboly.
• $p\cap H=\{P\}$
  Přímka $p$ má s hyperbolou $H$ právě jeden společný bod, bod $P$.
  • Pokud je přímka $p$ různoběžná s asymptotami hyperboly, nazýváme ji tečnou hyperboly $H$.
  • Pokud je přímka $p$ rovnoběžná s některou z asymptot hyperboly $H$, tečnou jí nenazýváme.
• $p\cap H=\{X,Y\}$
  Přímka elipsu protíná v bodech $X$ a $Y$. Přímku $p$ nazýváme sečnou hyperboly $H$.